Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

Реферат

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

студента группы ТК

четвертого курса

Польщи М.В.

Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид Петрович

Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L1 ­ Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L2 ­ Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, 2x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L3 ­ Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L4 ­ Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x+y 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L5 ­ Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L1ÊL2ÊL3ÊL4ÊL1

2. L1ÊL5

3. L5ÊL3

Докажем, что L1ÊL2 (для этого выразим 2x через функции L1 )

Докажем, что L2ÊL3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L2 )

Пусть

 тогда

Докажем, что L3ÊL4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L3 )

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

Пусть

 тогда

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L4ÊL1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L4)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

Где y(x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

Докажем, что L1ÊL5 (для этого выразим x*y через функции L5 )

Докажем, что L5ÊL3 (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L5 )

Пусть

 тогда

Эквивалентность классов доказана.