Дифференцирование. Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций
a)
Пусть ,
, тогда
b)
Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .
Перейдем от десятичного
логарифма к натуральному:
По свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем
уравнение, считая y функцией от х:
Задание 2. Исследовать методами
дифференциального исчисления и построить график функции
Областью определения
функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0
функция разрывна.
Функция нечетная,
т. к.
Функция не
пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
Функция возрастает в
промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает в
промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет
экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость /
вогнутость.
Для этого найдем
производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки
второго рода.
В точке х=0 вторая
производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞;
0) <0, следовательно, график функции в
этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0,
следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты графика функции :
1) вертикальная асимптота
– прямая х=0
Т.к. и
2) горизонтальных
асимптот нет,
т. к. и
3) наклонных асимптот
нет,
т. к.
и
Задание 3. Найти экстремумы
функции Z = ln (3 – x2 + 2x – y2)
Найдем частные
производные первого порядка.
М (1; 0) – стационарная
точка.
Найдем вторые производные
и их значения в точке М.
>0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2x – y2) имеет экстремум в точке
М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.
Задание 4. Вычислить
неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем методом замены
переменной. Положим ,
тогда ,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим
дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей
неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике.
– М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]
С
Проверим
дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную
дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству
интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу
х, получаем
Таким образом, ,
где С=С1+С2
Проверим
дифференцированием:
Задание 5. Вычислить определенный
интеграл
Сначала вычислим
неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом,
Библиографический список
1.
Баврин,
И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. –
616 с.:ил.
2.
Выгодский,
М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука,
1972. – 872 с.:ил.
3.
Выгодский,
М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.:
Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.
