Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
Диференціальні операції в скалярних і векторних
полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай – область у тривимірному просторі (або на
площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле,
якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке
число .
Прикладами скалярних
полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного
середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів
заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія),
на якій функція набуває одне й те саме значення,
називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або
лінії постійної температури). Надаючи різних
постійних значень: , отримаємо сім’ю поверхонь (ліній)
рівня даного скалярного поля.
Фізичні скалярні
поля не залежать від вибору системи координат: величина є
функцією лише точки і, можливо, часу (нестаціонарні
поля).
Якщо в просторі
ввести прямокутну систему координат , то точка у цій системі координат матиме певні
координати і скалярне поле стане
функцією цих координат: .
2. Векторне
поле
Кажуть, що в
області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор .
Фізичні приклади
векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке
характеризується в кожній точці вектором напруженості ;
магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній
точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння, утворене
системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу; поле
швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .
Зручною
геометричною характеристикою векторного поля є векторні лінії – криві, в кожній
точці яких вектор напрямлений
по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного
полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.
Нехай векторна
лінія, яка проходить через точку , описується рівнянням , де –
параметр. Умова колінеарності вектора поля і
дотичного вектора в довільній точці цієї лінії має
вигляд
,(1)
де – деяке число. Умову (1) можна записати
також у вигляді
(2)
або, помноживши
на , у вигляді
.(3)
Кожне із рівнянь
(1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і
визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через
задану точку , визначається додатковою умовою
,(4)
де – радіус-вектор точки .
Фізичні векторні
поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор
повністю визначається своїм модулем і напрямом. Якщо в просторі введена
прямокутна система координат , то векторне поле описується
вектор-функцією трьох змінних або трьома скалярними
функціями – її координатами:
.
Оскільки в
прямокутних координатах , то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне
системі диференціальних рівнянь
,(5)
а додаткове
векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
,(6)
де – координати точки .
3. Похідна за
напрямом
Скалярне і
векторне поля
і
Називаються диференційованими
разів, якщо функції
диференційовані разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані
потрібне нам число разів.
Нехай – скалярне поле, задане в області , – одиничний фіксований
вектор; – фіксована точка; –
довільна точка із , відмінна від і така, що вектор колінеарний
. Нехай, далі, –
величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його
довжині , якщо напрям вектора збігається
з напрямом вектора , і дорівнює – , якщо вектори і є протилежними).
Означення. Число називається похідною скалярного поля
(функції ) в точці за
напрямом і позначається символом .
Похідна за
напрямом є швидкістю зміни функції за напрямом в точці .
Якщо в
прямокутній системі координат , то
.(7)
Зокрема, якщо
вектор збігається з одним із ортів або , то
похідна за напрямком збігається з відповідною частинною
похідною. Наприклад, якщо , то
.
Аналогічно
визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення. Вектор називається похідною векторного поля (вектор-функції ) в точці за напрямом і
позначається символом .
Якщо в
прямокутній системі координат , то
.
4. Градієнт
скалярного поля
скалярне
векторне поле дивергенція
Означення. Градієнтом скалярного поля називається вектор-функція
.
Із рівності (7)
випливає, що
,(8)
Звідси , оскільки .
Тут – кут між векторами і
в точці . Очевидно, що має найбільше значення при , тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого
зростання поля (функції )
у цій точці, а є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а
його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією .
5. Потенціальне
поле
Означення. Векторне поле називається потенціальним в області , якщо воно збігається в
області з полем градієнта деякого скалярного поля :
.(9)
Функція називається скалярним потенціалом векторного
поля . Якщо , то із рівності (9) випливає, що
.
Інколи
потенціалом векторного поля називають таку функцію , що .
Розглянемо,
наприклад, поле тяжіння точкової маси ,
розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією ( – гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле на одиничну
масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є
потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським потенціалом
поля тяжіння точкової маси . Дійсно
.
Аналогічно , звідси
.
Далі, розглянемо
ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду , розміщеного на початку координат. Воно
описується в точці вектором напруженості
.
Це поле також є
потенціальним полем. Його можна подати у вигляді .
Функція називається потенціалом електричного поля
точкового заряду .
Поверхні рівня
потенціала називаються еквіпотенціальними поверхнями.
6. Дивергенція
Означення. Дивергенцією векторного
поля називається скалярна функція
.
Слово
«дивергенція» означає «розбіжність».
Дивергенція
характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.
Розглянемо,
наприклад, електричне поле точкового заряду ,
розміщеного в початку координат:
,
.
Оскільки , і аналогічно , то
(при ). Цей результат означає відсутність поля у
довільній точці, крім початку координат. В початку координат .
7. Ротор
Означення.
Ротором (або вихором) векторного поля
називається
вектор-функція
.
Зокрема, для
плоского поля маємо
.
Розглянемо тверде
тіло, яке обертається навколо осі із сталою кутовою
швидкістю (рис. 1).
Рисунок 1 –
Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле
швидкостей точок цього тіла можна подати у вигляді
.
Знайдемо ротор
поля швидкостей :
.
Таким чином, є сталим вектором, напрямленим уздовж осі
обертання , а його модуль дорівнює подвоєній кутовій
швидкості обертання тіла:
.
Розглянемо
потенціальне поле . Його потенціал . Обчислимо ротор цього поля:
.
Взагалі, ротор
довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть,
що потенціальне поле є безвихровим.
8.
Соленоїдальне поле
Векторне поле називається соленоїдальним в області , якщо в цій області .
Оскільки характеризує густину джерел поля , то в тій області, де поле
соленоїдальне, немає джерел цього поля.
Наприклад,
електричне поле точкового заряду соленоїдальне
(задовольняє умову ) всюди поза точкою, де знаходиться
заряд (в цій точці ). Векторні лінії соленоїдального
поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути
замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними
лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.
Якщо векторне
поле можна подати як ротор деякого векторного
поля , тобто , то
вектор – функція називається векторним потенціалом
поля .
Можна перевірити
(див. докладніше п. 2), що , тобто поле є соленоїдальним.
Довільне векторне
поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор
Гамільтона
Згадаємо, що
символ називається оператором частинної похідної по
. Під добутком цього оператора на функцію розумітимемо частинну похідну , тобто .
Аналогічно, і – оператори частинних
похідних по і по .
Введемо векторний
оператор «набла» або оператор Гамільтона:
.
За допомогою
цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати
операції векторного аналізу.
У результаті
множення вектора на скалярну функцію отримуємо :
.
Скалярний добуток
вектора на вектор – функцію дає :
.
Векторний добуток
вектора на вектор – функцію дає :
.
10.
Нестаціонарні поля
Нехай в області визначено нестаціонарне скалярне поле : величина є
функцією точки і часу . Приклад
такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі
(наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку , яка
рухається в області (частинку рідини). Координати
точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом .
Величина в рухомій точці є
складеною функцією :
.
Обчислимо похідну
по цієї функції (вона називається повною
похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо
.
Вводячи в точці вектор швидкості ,
отримуємо
Або
.(11)
Аналогічно, якщо
в області задано нестаціонарне векторне поле , то для рухомої точки векторна величина є
складеною функцією : . Повну
похідну по для кожної координати вектор – функції можна обчислити за формулою (11). Помноживши
результати на базисні вектори і складаючи, отримуємо
.(12)
У формулах (11) і
(12) доданки і виражають
швидкості зміни величин та з часом при фіксованих координатах, тобто
характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними
похідними. Доданки і утворюються
за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у
виразах повних похідних називаються конвективними похідними.
Локальні похідні
характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору.
Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.