Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Деление
произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Россия. г. Пенза
Е. И. Терёшкин.
Возьмем
прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону
квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной . Поставим точки M и N.
Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3
равновеликие части т.е.
Чертеж
1.
Чертеж
2.
Но
чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C
радиусом CM опишем окружность.
.
.
.
.
.
По
теореме Пифагора находим . Из точки радиусом опишем окружность. Из точки через точку проводим линию до
пересечения с большой дугой и ставим точку . , .
.
- диаметры большого круга.
Проводим линию , она пересекает малый круг в
точке . Из точки , через точку проводим линию до
пересечения с большой дугой, ставим точку . Соединяем точки и .
.
.
Рассмотрим
треугольник чертеж 2. . По теореме косинусов . Проведем линию до пересечения с .
По
теореме Пифагора Из точки проводим линию . подобен , значит
Рассмотрим
, т.к. этот угол вписанный и
опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет
средняя линия, а значит По теореме косинусов , значит но , значит линия проходит через точку , т.е. через центр квадрата.
Далее
чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были
тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки . Из точек любым радиусом описываем
окружность.
Чертеж
3. Чертеж 4.
Там
где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4) пересекаются
с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (
чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с
окружностями ставим точки и . Из точек радиусом описываем окружности. Там
где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F.
Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой
окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с
большой дугой и ставим точки . Соединяем точки М с точками . В местах пересечений линий
М и F ставим точки О. От точек О
в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А.
Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и
ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями
линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А.
Если требуется разделить
начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим
линии параллельные AM и AN.
Теперь
в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD
ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с
биссектрисой А ставим точку . Треугольники АМ и АN равны по двум катетам.
Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих чертежах
РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.
Чертеж
5.
На
чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах
3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее
известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.
Из
точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF
до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до
пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М.
ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,
Фигуры
АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее
основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и
АМF, треугольники равны по трем сторонам.
Фигуры
АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее
основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и
АND, треугольники равны по трем сторонам.
Треугольники
АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны
треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах , а и фигуры АВМF равны фигурам
AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут
и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не
находиться.
Рассмотрим
на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма
углов у обоих одинакова. а значит или
В
обоих чертежах равны фигурам АЕND.
.
В
результате получается:
или
Рассмотрим
в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.
или
следовательно
или
Но где находятся точки Е и F
пока не известно.
Чертеж
6.
Чертеж
7.
На
чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и
F относительно угла МАN.
Так
как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а , значит точки Е и F если и
не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих
линий. Иными словами и , если таковые углы
существуют, то эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот если больше то меньше на 2
На
чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.
или
На
чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.
Получится, что
Но
и могут быть равны каким-либо
углам, если .
Следовательно,
наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится
на линии AN и .
Угол
больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его
надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3.
Это и будет 1/3 делимого угла.