Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения
Содержание
Иррациональные
уравнения
Числовая
функция. Способы задания функции
Основные
свойства функции
Графики
функций. Простейшие преобразования графиков функцией
Обратная
функция
Степенная
функции, её свойства и графики
Показательная
функция, её свойства и графики
Показательные
неравенства
Логарифмы
и их свойства
Логарифмические
уравнения
Тригонометрические
функции числового аргумента
Функция
y sinx ее свойства и график
Обратные
тригонометрические функции, их свойства и графики
Частные
случаи тригонометрических уравнений
Тригонометрические
уравнения
Аксиомы
стереометрии и следствия из них
Взаимное
расположение двух прямых в пространстве
Скрещивающиеся
прямые. Признак скрещивающихся прямых
Теорема
о трех перпендикулярах
Алгебра
Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными
десятичными дробями.
Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция
<#"1.files/image001.gif">, считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения
числовой величины (ошибкой) понимают
разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное
значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой
величины - любое число, которое используется вместо точного значения.
Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной
погрешностью приближенного значения называют
величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.
Качество приближения
существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин,
поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего
вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью
приближенного значения называют величину , про которую
известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование
относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от
масштабов величин и единиц измерения.
Иррациональные
уравнения
Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют
иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения
требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в
квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при
возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1) 2, 1=1.
Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные
переходы.
Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований
приходим к квадратному уравнению; и подставим.
Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Ко́мпле́ксные
чи́сла - расширение множества вещественных
чисел
<#"1.files/image009.gif">. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy,
где x и y
- вещественные числа, i - мнимая единица
<#"1.files/image010.gif">
Деление
Числовая
функция. Способы задания функции
В математике
<#"1.files/image012.gif"> или множества комплексных чисел
<#"1.files/image009.gif">.
Словесный: С помощью
естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью
аналитической формулы f (x) = x!
Графический С помощью графика
<#"1.files/image014.gif">.
Табличный: С помощью таблицы
значений
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
y
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные
свойства функции
1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции
- это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x), при которых функция y = f (x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y,
которые принимает функция. В элементарной математике <#"1.files/image015.gif">Прямая линия - график
линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0
и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат
т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)
Парабола - график функции
квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную
ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки
пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного
уравнения ax2 + bx +с =0
Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и
IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0) или у -
х (а < 0).
Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
Тригонометрические
функции. При построении
тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.
Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая
называется синусоидой.
График функции y = cos x представлен на рис. 20; это
также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x
вдоль оси Х влево на /2.
Основные свойства функций.
Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.
Область определения
функции и область значений функции. Область
определения функции - это множество всех допустимых действительных значений
аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y,
которые принимает функция.
В элементарной математике
<#"1.files/image024.gif">0) и рис.14 (n
< 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как
тогда некоторые функции:
.
Обратная
функция
Обра́тная фу́нкция - функция
<#"1.files/image027.gif">является обратной к функции , если выполнены
следующие тождества: для всех для всех
Предел функции в точке.
Основные свойства предела.
Корень n-ой степени и его
свойства.
Корнем n-ой степени из числа
a называется такое число, n-ая степень которого равна a.
Определение: Арифметическим
корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень
которого равна a.
Основные свойства корней:
Степень с произвольным
действительным показателем и его свойства.
Пусть дано положительное
число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием
степени, число - показателем степени.
По определению полагают:
.
.
, .
Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:
.
.
.
.
.
.
Степенная
функции, её свойства и графики
Степенная функция комплексного переменного f (z) = zn с целочисленным
показателем определяется с помощью аналитического
продолжения
<#"1.files/image050.gif">, . Рассматриваются такие случаи:
а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то
есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная
(то есть при всех ).
Показательная
функция, её свойства и графики
Показательная функция - математическая функция
<#"1.files/image062.gif">.
В вещественном случае
основание степени - некоторое неотрицательное вещественное
число
<#"1.files/image064.gif">; ; .
Показательные
уравнения.
Перейдем непосредственно к
показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение
необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания
равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней.
Докажем эту теорему: Пусть a>1 и aх=ay.
Докажем, что в этом случае
х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у
или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо aх<ay
либо aх>ay. Оба эти результата противоречат условию
теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.
Также доказывается теорема и
для случая, когда 0<a<1. Замечание. Из равенства aх=ay
не обязательно следует что x=у. Из равенства 1х=1y также
не обязательно вытекает равенство x=у. Самым простым показательным уравнением
является уравнения вида aх=ay, где a>0 и a≠1.
Показательные
неравенства
Неравенства вида (или меньше) при а (х) >0 и решаются на
основании свойств показательной функции: для 0 < а (х) < 1 при
сравнении f (x) и g (x) знак неравенства меняется, а при а (х)
> 1 - сохраняется. Самый сложный случай при а (х) < 0. Здесь
можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х
показатели f (x) и g (x) будут целыми числами, и выбрать из них
те, которые удовлетворяют условию. Наконец, если исходное неравенство будет
выполняться при а (х) = 0 или а (х) = 1 (например, когда
неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
Логарифмы
и их свойства
Логарифм числа b по основанию a (от греч.
<#"1.files/image067.gif">. Из определения следует, что записи и равносильны. Пример: , потому что . Свойства
Основное логарифмическое
тождество:
Логарифмическая функция, её
свойства и графики.
Логарифмической функцией
называется функция вида f (x) = logax, определённая
при
Область определения:
Область значения:
График любой логарифмической
функции проходит через точку (1; 0)
Производная логарифмической
функции равна:
Логарифмические
уравнения
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит
уравнение loga х = b (где а > 0, а 1). Его решение x = ab.
Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение
loga х = b (а > 0, а 1) имеет решение х = аb.
Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
если loga f (х) = loga g (х), то f (х) =
g (х), f (х) >0, g (х) >0, а > 0, а 1.
Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
Логарифмические неравенства.
Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма,
называется логарифмическим: loga f (х) > loga g
(х).
При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства
неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее
определения. Неравенство loga f (х) > loga g (х) равносильно
системе f (x) > g (x) > 0 при a > 1 и системе 0 < f (x)
< g (x) при 0 < а < 1.
Радианное измерение углов и дуг. Синус, косинус, тангенс, котангенс.
Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение )
- это поворот луча на 1/360 часть одного полного оборота. Таким образом,
полный оборот луча равен 360. Один градус состоит из 60 минут (их
обозначение ‘); одна минута - соответственно из 60 секунд (обозначаются
“).
Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф "Длина
дуги" в разделе "Геометрическое место точек. Круг и
окружность"), длина дуги l, радиус r и соответствующий
центральный угол связаны соотношением: = l / r.
Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов.
Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее
определение радианной меры измерения:
Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус
равны (AmB = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть
отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между
сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение
длин сторон прямоугольного треугольника.
Синус:
Косинус:
Тангенс:
Котангенс:
Тригонометрические
функции числового аргумента
Определение.
Синусом числа х
называется число, равное синусу угла в х радианов
<#"1.files/image089.gif">
Формулы сложения. Формулы
двойного и половинного аргумента.
Двойного.
;
(; .
Тригонометрические функции и
их графики. Основные свойства тригонометрических функций.
Тригонометрические функции - вид элементарных функций
<#"1.files/image097.gif">
5. Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nÎZ;
с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки
знакопостоянства:
sinx > 0, если xÎ (2pn; p +
2pn), nÎZ;
sinx < 0, если хÎ (p + 2pn; 2p+pn), nÎZ.
Знаки синуса в четвертях
у > 0 для углов а первой и второй четвертей.
у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.
7. Промежутки монотонноти:
y = sinx возрастает
на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2
+ 2pn],
nÎz и
убывает на каждом из промежутков [p/2 + 2pn; 3p/2
+ 2pn], nÎz.
8. Точки экстремума и экстремумы функции:
xmax = p/2 + 2pn, nÎz; ymax =
1;
ymax = - p/2 + 2pn, nÎz; ymin =
- 1.
Свойства функции у = cosx и ее график:
Свойства:
1. D (y) = R.
2. Е (у) = [-1; 1].
3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)
4. Т = 2p - наименьший
положительный период. Действительно,
cos (x+2pn) = cosx.
5. Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: cosx = 0;
х = p/2
+ pn, nÎZ;
с осью Оу: если х = 0,то у = 1.
6. Промежутки знакопостоянства:
cosx > 0, если хÎ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nÎZ;
cosx < 0, если хÎ (p/2
+ 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ.
Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в
четвертях:
x >
0 для углов a первой и
четвертой четвертей.
x <
0 для углов a второй и
третей четвертей.
7. Промежутки монотонноти:
y = cosx возрастает
на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn],
nÎz и
убывает на каждом из промежутков [2pn; p + 2pn], nÎz.
Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -
1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).
2. E (y) =R.
3. Функция y = tgx -
нечетная
4. Т = p - наименьший
положительный период.
5. Промежутки знакопостоянства:
tgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;
tgx < 0 при xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.
Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.
6. Промежутки монотонности:
y = tgx возрастает
на каждом из промежутков
(-p/2
+ pn; p/2 + pn),
nÎz.
7. Точки экстремума и экстремумы функции:
нет.
8. x = p/2 + pn, nÎz - вертикальные асимптоты
Свойства функции у = ctgx и ее график:
Свойства:
1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) =R.
3. Функция y = ctgx - нечетная.
4. Т = p - наименьший
положительный период.
5. Промежутки знакопостоянства:
ctgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;
ctgx < 0 при хÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.
Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.
6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (pn; p + pn), nÎZ.
7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.
8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида,
полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на p/2 и умножением на (-1) (рис)
Обратные
тригонометрические функции, их свойства и графики
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые
функции, аркфункции) - математические
функции
<#"1.files/image101.gif">
Функция y=arcsinX, её
свойства и графики.
Арксинусом числа m называется такой угол x, для
которогоФункция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей
числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. (функция является нечётной
<#"1.files/image105.gif">
Функция
y=arccosX, её свойства и графики.
Арккосинусом числа m называется такой угол x, для
которого
Функция y = cosx
непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx
является строго убывающей. cos (arccosx) = x
при arccos (cosy) = y при D
(arccosx) = [− 1; 1], (область определения), E (arccosx) =
[0; π]. (область значений). Свойства
функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки
Функция y=arctgX,
её свойства и графики.
Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
при
при
Свойства функции arctg
,
.
Функция y=arcctg, её свойства и графики.
Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция является строго убывающей. при при 0 < y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно
точки при любых x.
.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x =
a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими
уравнениями.
Частные
случаи тригонометрических уравнений
Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x =
a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими
уравнениями.
Тригонометрические
уравнения
Аксиомы
стереометрии и следствия из них
Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные
свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения,
выражены в аксиомах.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой плоскости
|
АB Прямая АВ лежит в плоскости
|
рис.5
|
|
Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят,
что они пересекаются.
|
а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
|
Рис.6
|
|
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих плоскостей.
|
= a и пересекаются по прямой а.
|
рис.7
|
|
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
Взаимное
расположение двух прямых в пространстве
Две прямые, заданные уравнениями
или
пересекаются в точке.
Параллельность прямой и плоскости.
Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна
плоскости α, то пишут a || α. Теорема 2.4 Признак
параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна
какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.
Доказательство Пусть b α, a || b и
a α (чертеж 2.2.1). Доказательство
проведем от противного. Пусть a не параллельна
α,
тогда прямая a пересекает плоскость α
в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно
признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема
2.5 Если плоскость β проходит через прямую a,
параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются
скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют
общих точек, так как a || α. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом
плоскости β на плоскости α.
Скрещивающиеся
прямые. Признак скрещивающихся прямых
Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если
представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая
прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.
Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются,
если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в
пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.
Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а
другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то
эти прямые скрещивающиеся.
Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Теорема (3): Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то
такие углы равны.
Параллельность прямых. Свойства параллельных плоскостей.
Параллельными (иногда -
равнобежными) прямыми называются прямые
<#"1.files/image155.gif"> <#"1.files/image156.gif"> <#"1.files/image157.gif"> AB - перпендикуляр к плоскости α.
AC - наклонная, CB -
проекция.
С - основание наклонной, B -
основание перпендикуляра.
Угол между прямой и
плоскостью.
Углом между прямой и
плоскостью называется любой угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Двугранный угол.
Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура,
образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть
пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями
двугранного угла, а их общая прямая - ребром. Двугранные углы измеряются
линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с
плоскостью, перпендикулярной к его ребру. У всякого многогранника, правильного
или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом
ребре.
Перпендикулярность двух
плоскостей.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПЛОСКОСТЕЙ.
Если плоскость проходит через
прямую перпендикулярную другой плоскости
<http://schools.keldysh.ru/sch1905/Geom_perpendikularnost/prpl.htm>,
то эти плоскости перпендикулярны.