Билеты по математике
Билеты по
математике
Билет №1
Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y).
Разобъём обл. P на n
частичных обл. Рi , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (xI;hI)
Î Рi , l - наиболь-ший диаметр чатичных обл.
Построим частичную сумму – сумму Римена.
Определение:
Если существует конечный предел
и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (xI;hI)
в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным
интегралом по обл. Р и пишут:
В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного
интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху
ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:
Двойной интеграл от f(x;y)
имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.
Св-ва двойного интеграла:
1.Необходимым условием сущ.
Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f
в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная.
2.Всякая непрырывная ф-ция,
заданная в обл. Р, интегри-руема.
3.Если ф-ция f(x;y)
в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой
обл., то f интегрирума по обл. Р.
4.Сумма Дарбу:
Теорема: Для того, чтобы двойной
интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство:
5.Аддетивность двойного
интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две
обл-ти Р1иР2 не имеющих общих точек,
то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы
относительно по двум областям.
6.Линейность:
7.Если f(x;y) £ g(x;y) для "(x;y)ÎP и ф-ции f и g интегрируемы, то
соответственно справедливо неравенство:
9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m £ f(x;y) £ M, то справедливо
следующее неравенство:
10.Для двойного интеграла имеет
место теорема о среднем: если z = f(x;y)
– ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется
нер-во m £ f(x;y) £ M, где
то существует число m такое, что справедливо равенство:
В случае непрырывности ф-ции:
Вопрос №3
Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=j1(x) a £ x £ a – снизу;
y=j2(x) a £ x £ b – сверху; x = a
– слева; x = b – справа;
Тогда имеет место следующая
теорема.
Теорема: Если функция f(x;y)
задана в области Д такова, что существует двойной интеграл
для любого фиксированного xÎ [a ; b]
существует одно- мерный интеграл
то тогда существует повторный
интеграл
Доказательство:
Обозначим c=inf j1(x)
a £ x £ b; d=max j1(x)
a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД. P=RД (раз- ность множеств). Построим
вспомогательную функцию
Рассмотрим
Получаем следующее равенство:
Замечание: Пусть теперь область
Д ограничена следующими линиями:
x=y1(y) c £ y £ d – слева; x=y2(y) c £ y £ d – справа;
x = c
– сверху; x = d – снизу. И пусть
Тогда аналогично предыдущему
можно показать, что существует повторный интеграл и
Если же функция f(x;y)
такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то
одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из
них.Вопрос №5
Формула Грина.
Теорема: Пусть задана область Д
огран. след. кривыми:
y=j1(x) a £ x £ b
y=j2(x) a £ x £ b
x=a , x=b, где ф-ции j1 и j2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся
функция P(x,y)
– непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:
Доказательство:
Рассмотрим двойной интеграл,
стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то
такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл и его можно вычислить через повторный:
Теорема: Пусть задана область Д огран.:
y=j1(x) с £ x £ d
y=j2(x) c £ x £ d
x=c , x=d. И пусть в этой области задаётся
функция Q(x,y)
– непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:
Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем
следующую формулу Грина для области Д:
D P(x,y), Q(x,y) ,
Вычисление площадей через крив
интеграл
Применим ф. Грина, т.е. выразим
его через криволинейный интеграл по границе области.
1. Q = x P = 0
2. Q = 0 P = -y
Суммируем 1 и 2 :
Пример: Вычислить площадь
эллипса
.
Сделаем замену переменных 0 £ t £ 2p
Вопрос №6
Неприрывную кривую назыв.
простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения.
Областью называется всякое
открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и
любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот.
принадлежат данному мн-ву.
Область называется односвязной
областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки
данного мн-ва.
Теорема 1. Пусть Д ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный
интеграл
был равен нулю по любой
замкнутой кривой ГÌД, (где P(x,y)
и Q(x,y)
непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ. и ) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство
= (2)
f(x,y)eД.
Док-во: Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и
Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через
обл. Д1 кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина:
Предположим, что интеграл равен
нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x0 ,y0) e Д
F(x0,y0)>0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y)
непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x0,y0)>0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)>0 для всех точек лежащих в нутри окр. gr кот. явл. Границей нашей окружности.
Множество точек леж. В этой окр.
обознач. Д1 и применим к области Д1 ф-лу Грина:
это показывает, что не сущ. ни
одной точки, где бы (2) не выполнялось.
Вопрос №4
Пусть заданы 2 плоскости с
введенными в прямоугольник декартовыми системами координат
XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY
задана область DV ограниченная кривой Г, а в
плоскости UOV
задана область G ограниченная кривой L
Пусть функция отображает область G в области D, где т.(u,v)e
G, а т.(x,y)eD.
Будем предпологать , что функции
x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D
и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D
имеет единственный прообраз (u,v) в области G.
Тогда существует обратная
функции
которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух
точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D,
то числа U и V принято называть координатами точек в
облати D, но уже криволинейными.
Будем предпологать, что функции x(U,V)
и y(U,V)
имеют непрерывные частные производные по своим переменным x’y и y’x, x’v
и y’v, тогда определитель функции имеет
вид:
Принято называть якобианом для
функций x(U,V)
и y(U,V).
Можно показать,что площадь области D
задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных
координатах следующим образом:
- прямолинейном интеграле.
в криволинейных координатах.
Замена переменных.
Теорема: Пусть Z=f(x)
– непрерывная функция заданая в области D
и область D является образом области G
через посредства функций , где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные
производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном
интеграле:
Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда
согласно формулам отображающим область G
в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В
некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D
будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G)
частичных подобластей.
Di – подобласти, i=1,2,…,n.
В каждой обл. Di выберем т.(x,y)eDi и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла
от функции f обл. D.
Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах
xi=x(Ui,Vi)
yi=y(Ui,Vi)
И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то $ lim sn(f)
и этот lim не зависит от выбора точек в обл. Di,
но тогда в качестве f(xi,yi) может быть взята точка
Мы получаем интегральную сумму
Римана для интегр., что стоит справа
формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем
равенстве:
получим ф-лу (1), т.к.
суммы стремятся к соответствующему интегралу.Вопрос №2
Теорема: Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по
этому прямоугольнику
Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл
то $ повторный интеграл
Доказательство:
Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0