«Безвихревая электродинамика». Математическая модель

«Безвихревая электродинамика». Математическая модель

Кузнецов Ю.Н.

Уравнение симметрийно-физического перехода в электромагнитных явлениях.

В математических моделях природных явлений реальным геометрическим симметриям описываемых объектов соответствуют геометрические симметрии тензорных величин. Чем ниже ранг тензора, тем выше степень его предельной геометрической симметрии.

Отобразим симметрийно-физический переход в локальной электродинамике посредством рангового преобразования. С этой целью умножим на безразмерный

4-вектор известное максвелловское уравнение

‡‡. (1)

В результате двумя уравнениями с тензорами первого и нулевого рангов описываются разные симметрии физически наполненных геометрических величин.

Соответственно, разные свойства у двух видов источников и их полей, разные причинно-следственные связи у одной и той же природной сущности.

Сведём к нулю в правом уравнении производную по времени. В итоге получаем дифференциальную форму записи известной электростатической теоремы Гаусса

ÑÑ. (2)

И новое гауссоподобное дифференциальное уравнение для более симметричной локальной магнитостатики с потенциальным магнитным полем, образуемым безнаправленными (в общем случае – бесконечно малыми сферическими) центрально-симметричными токами зарядов

Ñ Ñ  . (3)

Приравнивая нулю источники поля в левом и правом уравнениях равенства (1), получаем математическое описание симметрийно-физического перехода для ЭМВ в пустом пространстве. Перехода поперечных ЭМВ в продольные.

В общем случае ранговое преобразование описывает ступенчатый переход к другой геометрической симметрии тензорных величин, сопровождаемое ступенчатым

изменением их физического наполнения.

В случае практической реализации симметрийно-физического перехода в каком-либо конкретном явлении ранговое преобразование представляет собой его теоретическую модель.

Оно может использоваться в предсказательных целях, являясь разновидностью метода математической гипотезы.

Построение математической модели безвихревой электродинамики. В результате анализа центрально-симметричной магнитостатики [1] была получена формула, связывающая потенциал и напряжённость стационарного магнитного поля

 (4)

Переходя к описанию переменного поля, посредством умножения обеих частей

равенства (4) на оператор , имеем формулу

, (5)

отображающую локальное явление электромагнитной индукции вне вещественного источника.

Используя принцип перестановочной двойственности [2], трансформируем формулу (5) в запись явления магнитоэлектрической индукции

. (6)

Подставляя в формулу (5) отношение (1) , а в формулу (6) равенство

 (7)

соответственно имеем

 , (8)

. (9)

Две пары равенств (4), (8) и (7) ,(9) представляют собой 3 – мерные компоненты двух 4 – мерных уравнений

 (10)

, (11)

где

 (12)

 (13)

являются исходными элементами математической модели гипотетической безвихревой электродинамики – магнитным и электрическим 4–векторами напряжённости поля.

Дальнейшее построение сводится к применению к исходным 4-векторам универсальных операторов таким же образом, как это делается в известной модели.

Первым действием записываются уравнения для пустого пространства

, (14)

. (15)

Вещественные источники вводятся в (14),(15) как естественное дополнение, приводящее их к максвеллоподобному виду

, (16)

 (17)

С одной стороны, модуль вектора плотности тока применяется в (17) вынужденно для его совмещения со скалярным уравнением. С другой – он является адекватным математическим описанием бесконечно малой центрально – симметричной сферической (осе

вой Jx=0, аксиальной Jx=0, Jу=0) системы противонаправленных токов зарядов, не имеющей выделенного посредством вектора направления.

Прежде, чем объединить уравнения (16), (17), необходимо согласовать размерности. С этой целью левая и правая части уравнения (16) умножаются на .

В результате суммирования имеем

, (18)

где 4-скаляр источника

 , (19)

 . (20)

Введя суммарный 4-вектор

, (21)

получаем

 (22)

Умножая обе части уравнения (22) на оператор  с минусовым знаком перед ним, имеем аналог известным уравнениям Даламбера относительно напряженностей безвихревого электромагнитного поля

 . (23)

Уравнение, связывающее между собой потенциалы и напряженности, строится из формул (10) ,(11), (21). В итоге имеем

. (24)

При его подстановке в уравнение (22) получается равенство, связывающее вещественный источник с потенциалами поля

, (25)

где

, (26)

. (27)

Применение к двум парам 3- мерных составляющих уравнения (24)

математических построений по аналогии с [3] выявляет в плоском приближении продольно-скалярную электромагнитную волну с электрической

-  (28)

и магнитной

 (29)

синфазными составляющими.

Математическая модель безвихревой электродинамики характеризуется скалярно-векторной структурой своих уравнений.

Основополагающие уравнения безвихревой электродинамики сведены в таблице 1.

Таблица 1