Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Вариант 6
Тема: Алгебра матриц
Задание: Выполнить действия над матрицами.
1) С=3A-(A+2B)B
2) D=A2+B2+4E2
Тема:
Обращение матриц
Обратить
матрицу по определению:
Определитель
матрицы:
Далее
находим матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу):
Обратную
матрицу находим:
По
определению обратной матрицы:
Действительно:
Тема:
решение матричных уравнений
Задание
1: Решить матричное уравнение:
Решение.
Нахождение
столбца Х сводится к умножению матрицы на обратную:
Матрица
коэффициентов А:
Найдем
обратную матрицу A-1:
Определитель
матрицы A:
Алгебраические
дополнения:
Транспонированная
матрица алгебраических дополнений:
Запишем
выражение для обратной матрицы:
Итак,
выполняем умножение матриц и находим матрицу X:
Ответ:
Задание
2: Решить систему уравнений матричным способом
Решение
Матричная
запись уравнения:
Матрица
коэффициентов А:
Найдем
обратную матрицу A-1:
Определитель
матрицы A:
Алгебраические
дополнения:
Транспонированная
матрица алгебраических дополнений (союзная матрица):
Запишем
выражение для обратной матрицы:
Вычислим
столбец неизвестных:
Тема:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
Задание 1: Исследовать и решить систему по
формулам Крамера:
Найти
решение системы уравнений по методу Крамера.
Согласно
методу Крамера, если определитель матрицы системы ненулевой, то система из 4-х
уравнении имеет одно решение, при этом значение корней:
,,,,
Где:
- определитель матрицы
коэффициентов - ненулевой.
- определитель матрицы
полученной путем замены первого столбца матрицы коэффициентов на столбец
свободных членов.
- определитель матрицы
полученной заменой второго столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных
членов.
- определитель матрицы
полученной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных
членов.
- определитель матрицы
полученной заменой четвертого столбца матрицы коэффициентов на столбец
свободных членов.
Итак:
,
,
.
Задание
2: Решить эту систему по методу Гаусса.
Метод
Гаусса заключается в сведении системы к треугольному виду.
Видим,
что решение системы по методу Гаусса совпадает с решением по методу Крамера.
