Функціональне відображення поведінки споживача
Функціональне відображення поведінки споживача
1. Геометричне
подання зміни попиту при зміні доходу й цін
Припустимо
змінюється доход (). Його збільшення або зменшення
еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й
попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в
якій забезпечується максимум функції корисності . Нехай
цими точками є точки , , , на рис. 1. З'єднавши їх,
одержимо криву . Така крива називається кривою
доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну
попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не
є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає
вигляд, зображений на рис. 2.
Рисунок 1. Рисунок
2
Припустимо, що
змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2.
Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)
.
Нехай зменшується. Тоді точка переходить у точку ,
а точка – у точку – нову
точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції
корисності . Зменшимо ціну . Тоді
точка переміститься в точку , а точка займе
положення точки й т.д. З'єднавши точки , , ,
, одержимо криву
ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують
зміну попиту двох товарів при зміні ціни . На
відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія
ціна-споживання починається в точці .
Рисунок 3
Проаналізуємо
більш детально процес переходу з точки в точку при зміні ціни (рис. 4).
Позначимо вихідну бюджетну лінію через , а змінену
– через . Проведемо пряму паралельно
прямій лінії цін так, щоб вона мала точку дотику з
кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка .
Як у точці , так й у точці споживачеві
забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать
одній кривій байдужності. Перехід із точки в розглянемо поетапно: спочатку з в точку , потім із
точки у точку . Перехід
з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару
знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим,
що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки у точку відповідає ефекту доходу й обумовлений
зміною реального доходу при зміні цін.
Рисунок 4
2 Аналіз
математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача
При будь-яких додатних цінах і
доході розв’язок задачі поведінку споживача, існує
й єдиний.
Очевидно, що цей розв’язок залежить від і , тобто вибір споживача є
функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту або в розгорнутому вигляді:
.
Цей запис означає, що при цінах і доході вибирається
споживчих благ у кількостях .
Основною властивістю функції попиту є її однорідність
щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних
змін й :
, де .
Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача
залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.
Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні
чутливості розв’язку до зміни її параметрів і . Цей підхід у математичній економіці
називається методом порівняльної статистики.
Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою умови першого порядку й можуть бути
розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів і оптимального множника Лагранжа , тобто розв’язок подається у вигляді функції
попиту та функції попиту та доходу . Поставимо й в
або в
розгорнутому вигляді
(1)
Позначимо
і .
Отже
перейдемо до аналізу математичної
моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів і
:
1.
Розглянемо вплив зміни доходу на
розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по , тоді одержимо
(2)
де і відображають ступінь чутливості стосовно
зміни .
Позначимо , тоді в матричному
позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:
,
де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що
облямована цінами, тобто
, де – вектор-рядок.
Припустимо, що .
Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні одержимо
де – алгебраїчні доповнення елементів , відповідно.
Якщо , то -й товар називається коштовним (цінним), при
збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли -й товар називається малоцінним.
2. Розглянемо
вплив зміни ціни одного товару, наприклад , на
поведінку споживача. Диференціюючи (1) по ,
одержимо:
(3)
де – дельта Кронекера .
Запишемо систему (3) у такому вигляді:
.
Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто, тоді маємо при фіксованому такий розв’язок, який називають рівнянням
Слуцького
(4)
Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності.
Вираз називається коефіцієнтом Слуцького. З
рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на -й
товар зміна попиту на -й товар наведена двома доданками,
перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект
= вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на -й товар відбувається зростання доходу (ефект
доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го товару
– частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).
Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх та таких, що
, тоді матриця розміром
симетрична й від’ємно визначена, тобто .
Можна
встановити властивості цієї матриці.
Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають
зміну , яка є результатом варіації ціни , за умови, що доход підтримується на такому
рівні, що значення залишається незмінним.
При товари та прийнято вважати взаємозамінюючими, при – взаємодоповнюючими, а при – незалежними.
3 Коефіцієнт
еластичності
Коефіцієнтом
еластичності функції одного аргументу називається
величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний
приріст аргументу. Позначаючи еластичність через , маємо за
означенням
,
де – приріст аргументу;
– викликаний ним приріст функції.
Звичайно праву
частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності
показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу
на 1%.
При маємо
.
Якщо функція є функцією декількох аргументів, то говорять
про часткові коефіцієнти еластичності
.
Функція попиту є
векторною функцією, її можна розглядати як сукупність функцій
попиту на окремі товари , кожна з яких є функцією
від змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує
частковий коефіцієнт еластичності.
Залежно
від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.
Величини , що показують, на
скільки відсотків зміниться попит на -й товар у розрахунку
зміни ціни -го товару на 1%, називають коефіцієнтами
еластичності за цінами (якщо – то перехресними коефіцієнтами).
Показники , що характеризують
аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.
4 Алгоритми розв’язання задачі споживання
Умови Куна-Такера дають повну характеристику
розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з
алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні
методи.
Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами
полягає в тому, що, починаючи з деякої точки ,
здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений
прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два
класи.
До першого класу відносять методи, в яких точки , що досліджуються, не виходять за межі області
припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.
До другого класу методів відносять методи, під час
використання яких досліджувані точки можуть як належати, так і
не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних
функцій).
Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними
методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції
в черговій точці не стане дорівнювати нулю або ж
поки
,
де – достатньо мале
позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.
Для
чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції
корисності за умови .
Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в
задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної
цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому
розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного
програмування.
Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу
Франка-Вульфа:
1.
Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить
області припустимих розв’язків задачі.
2.
Знайдемо градієнт цільової функції в точці
.
3.
Побудуємо лінійну функцію
.
4.
Знайдемо максимум при обмеженні , тобто розв’яжемо задачу лінійного
програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор , що доставляє
максимум .
5.
Визначимо значення оптимального кроку обчислення за формулою
.
6.
Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою
.
7.
Знайдемо значення , .
8.
Порівняємо отримані , з
точністю . Якщо , тоді і алгоритм переходить до пункту 2, якщо , тоді отримано оптимальний розв’язок задачі і при .
